1. Introduction : Base 10 (décimale)
Chiffres autorisés : de 0 à 9.
Exemple :
95 670 = 9 × 104 + 5 × 103 + 6 × 102 + 7 × 101 + 0 × 100.
Méthode : Décomposition en puissances de 10
- Identifier les positions : unités, dizaines, centaines…
- Former la somme pondérée
chiffre × 10position.
Application : Décomposer 23 405 en somme de puissances de 10.
2. Base 2 (binaire)
Le système binaire est un système de numération qui utilise uniquement deux chiffres : 0 et 1.
Chaque chiffre en binaire s’appelle un bit (abréviation de binary digit, qui signifie « chiffre binaire »).
Chiffres autorisés : 0 et 1.
2.1. Passer de la base 10 à la base 2
Méthode : Divisions entières successives par 2
- Diviser N par 2 et noter le reste.
- Reprendre le quotient et recommencer jusqu’au quotient nul.
- Lire les restes de la fin vers le début.
Applications : Écrire en base 2 :
- 2510
- 8610
2.2. Passer de la base 2 à la base 10
Méthode : Somme pondérée
Exemple :
10101102 = 1 × 26 + 0 × 25 + 1 × 24 + 0 × 23 + 1 × 22 + 1 × 21 + 0 × 20 = 86.
Applications : Calculer en base 10 :
- 100010012
- 1110100111012
3. Base 16 (hexadécimale)
Chiffres autorisés : de 0 à 9, A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15.
3.1. Passer de la base 10 à la base 16
Méthode : Divisions entières successives par 16
Lire les restes de la fin vers le début.
Applications : Écrire en base 16 :
- 31610
- 75610
3.2. Passer de la base 2 à la base 16 (et réciproquement)
Méthode : Groupes de 4 bits
- 2 → 16 : regrouper par 4 bits depuis le bit de poids faible puis convertir chaque bloc.
- 16 → 2 : remplacer chaque chiffre hexadécimal par son équivalent binaire à 4 bits (table ci-dessous).
| Hexa | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Binaire | 0000 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
Convertir le binaire 10110101101₂ en hexadécimal
-
Étape 1 : Regrouper par 4 bits depuis la droite (bit de poids faible)
101101011010101 1010 1101Le premier groupe à gauche est complété avec un 0 pour obtenir 4 bits.
-
Étape 2 : Convertir chaque groupe en hexadécimal
0101₂=5₁₆1010₂=A₁₆1101₂=D₁₆ -
Conclusion :
10110101101₂=0101 1010 1101₂=5AD₁₆
Convertir l’hexadécimal E2B₁₆ en binaire
-
Étape 1 : Séparer les chiffres hexadécimaux
E 2 BChaque chiffre hexadécimal correspond à un bloc de 4 bits.
-
Étape 2 : Remplacer chaque chiffre par son équivalent binaire (4 bits)
E₁₆=1110₂2₁₆=0010₂B₁₆=1011₂ -
Conclusion :
E2B16=1110 0010 10112
Applications : Écrire en base 16 :
- 101011012
- 111000102
- 1001101110112
- 11001010111100102
Applications : Écrire en base 2 :
- 7A16
- 09F16
- C5D16
4. Généralisation à une Base b quelconque (b ≥ 2)
Chiffres autorisés : 0, 1, …, b−1.
Écriture positionnelle : N = dk×bk + dk-1×bk-1 + … + d1×b1 + d0×b0 avec 0 ≤ di < b.
4.1. Passer de 10 à b (divisions entières successives)
Méthode
- Diviser N par b, noter le reste.
- Recommencer jusqu’au quotient nul.
- Lire les restes de la fin vers le début.
Applications.
- Écrire en base 8 : 23510
- Écrire en base 12 : 75610
4.2. Passer de b à 10 (somme pondérée)
Méthode
Somme di × bi (des unités vers les puissances croissantes).
Applications : Écrire en base 10
- 7568
- 2A716